تابع در ریاضیات – Function in mathematics

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت دررابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌ وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه‌ی تابع بعدها توسط لئونارد اویلر(Leonhard Euler ) در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت مانند  \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right) + {x^3}\) .

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه ی مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس (Karl Weierstraß) بیشتر خواهان به‌ وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده ی تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه (Joseph Fourier) مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیرنیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) و لوباچوسکی (به روسی: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский ) هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند. بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد. تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

تعریف تابع – Function definition

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها، حساب دیفرانسیل و انتگرال و آنالیز در ریاضیات می‌باشد. وبر اساس آن حد و پیوستگی و مشتق را می‌توان تعریف نمود. به طور ساده، به قائده های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند تابع گفته می‌شود.

تابع یک به یک – one-to-one function

در ریاضیات یک تابع دوسویی (یا تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد.

تابع پوشا – Spanning Function

واژه‌ی پوشا و واژه‌های یک به یک و دوسویی در سال ۱۹۳۵، توسط Nicolas Bourbak، گروهی از ریاضی دانان اصالتاً فرانسوی که کتاب‌هایی را در زمینه‌ی ریاضیات پیشرفته نوشتند، معرفی شد. واژه‌ی پوشا به این معنی است که تصویر دامنه‌ی تابع کاملاً برد تابع را می‌پوشاند.

توابع دو(یا چند) متغیره – Multivariable functions

می‌دانیم که یک تابع عبارت است از دستگاهی که ورودی را دریافت می‌کند و خروجی را تحویل می‌دهد. برای نمونه تابع \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) را در نظر بگیرید. رابطه مفروض، \(x\) را دریافت می‌کند و \({x^2} + 1\) را تحویل می‌دهد. با این فرض ماکروفر نیز یک تابع است چرا که یک غذای سرد را به عنوان ورودی یعنی \(x\) دریافت می‌کند و خروجی آن غذای گرم یا همان \(f\left( x \right)\) است.

اگر از ماکروفر استفاده کرده باشید می دانید که در هنگام قرار دادن غذا در آن می‌توانیم دمای محیط درونی‌اش و مدت زمان دلخواه جهت گرم شدن غذا را انتخاب کنیم. در حقیقت ورودی تابع ماکروفر دو پارامتر زیر است.

1. مدت زمان تنظیم شده جهت گرم کردن غذا
2. دمای تنظیم شده ماکروفر

در نتیجه ماکروفر تحت چنین شرایطی هم مانند تابعی دو متغیره عمل می‌کند. به تابعی چند متغیره گفته می‌شود که در ورودی آن چندین عدد باشد.

توابع چند جمله‌ای – Polynomial Functions

توابع متناوب – Intermittent functions

تابع متناوب تابعی است که در طول زمان تکرار می‌شود یعنی، مقدارش با افزودن مقدار ثابتی به متغیرش، تکرار می شود.

توابع همانی – The same functions

در ریاضیات یک تابع را همانی (به انگلیسی: Identity function) گویند هرگاه، همواره مقدار خروجی آن با ورودی برابر باشد، و اگر بخواهیم آن را به صورت یک معادله بنویسیم به صورت \(f\left( x \right) = x\)  خواهد بود.

نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی

اگر \(M\)  یک مجموعه ناتهی باشد که تابع همانی \(f\)  بر روی آن تعریف شده باشد آن‌گاه دامنه‌ی تابع  \(f\)  مجموعه‌ی  \(M\)  است و رابطه‌ی همانی یا انعکاسی زیر همواره برقرار است:

برای تمامی اعضای  \(M\)  داریم:  \(f\left( x \right) = x\)

به عبارت دیگر \(I:X \to X\) با ضابطه \(I\left( x \right) = x\) برای هر\(x \in X\) تابع همانی است. اگر مجموعه \(X\) را مجموعه اعداد حقیقی  \(R\)  در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه \(R\) به روی مجموعه \(R\) تابع \(f\left( x \right) = x\) است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است.

حال مجموعه ناتهی \(X\) و زیرمجموعه \(A\) از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی \(X\) یعنی \(I:X \to X\) را به مجموعه \(A\) تحدید نمود و حاصل تابع \({I_{\left| A \right.}}:A \to X\) است با ضابطه \(I\left( x \right) = x\) ، برای هر \(x \in X\) ، این تابع را که زیرمجموعه \(A\) از \(X\) را به توی \(X\) می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.

توابع قدرمطلق – Powerful functions

توابع ثابت – Fixed functions

تابع ثابت (به انگلیسی: Constant function) به تابعی گفته می‌شود که به ازای تمام مقادیر ورودی، همواره عددی ثابت را به عنوان خروجی به دست می‌دهد. به عنوان مثال تابع \(f\left( x \right) = 2\) یک تابع ثابت است چرا که صرف نظر از آنکه \(x\) چه عددی باشد، مقدار خروجی آن همواره عدد ثابت 2 است.

فرض کنید \(X\) و \(Y\) دو مجموعه ناتهی و \(b \in Y\) عضوی ثابت و دلخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع \(f:X \to Y\) را با ضابطه \(f\left( x \right) = b,x \in X\) تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه \(X\) عضو ثابت \(b\) از مجموعه \(Y\) را نسبت می‌دهد.

برخی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع ثابت را می‌توان این چنین برشمرد:

• نمودار یک تابع ثابت روی اعداد حقیقی یک خط موازی محور \(X\) ها خواهد بود. برای تابع ثابت  \(f\left( x \right) = b\) این خط به فاصله \(b\) از محور \(X\) ها قرار دارد.
• مشتق تابع ثابت برابر صفر و انتگرال آن یک تابع خطی است.
• تابع ثابت یک تابع زوج است به این معنا که نسبت به محور \(Y\) ها تقارن دارد.

توابع جبری– Algebraic Functions

توابع مثلثاتی- Trigonometric Functions