معرفی جامع حساب دیفرانسیل و انتگرال

یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات، حساب دیفرانسیل و انتگرال یا به اختصار، حسابان(Calculus)است. این رشته از دگرگونی جبر و هندسه به وجود آمده است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال) گوتفرید لایبنیتز(Gottfried Wilhelm Leibniz) وایساک نیوتون(Sir Isaac Newton) به‌طور هم‌زمان و مستقل این حساب را کشف و طراحی کردند اما علائمی که امروزه در این حساب استفاده می‌شود از ابداعات لایبنیتز است. 

تاریخچه حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد. البته لازم به ذکر است که ریشه‌های این علم را می‌توان تا هندسه کلاسیک یونانی ردیابی کرد.

حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می‌داد شیب خم‌ها را تعریف کنند، زاویه آتش‌بازی توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند و زمان‌هایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند، پیش‌بینی کنند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت. در زمره مهم‌ترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند می‌توان به برادران برنولی اشاره کرد. در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.

این علم عمدتاً حاصل کار دانشمندان قرن هفدهم است. از میان این دانشمندان می‌توان به رنه دکات، کاوالیری، فرما و جیمز گرگوری اشاره کرد. تکمیل ساختار منطقی روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضی‌دانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس برعهده گرفتند.

واژه‌ی Calculus به معنای سنگ‌ریزه آهکی کوچک است که در چرتکه برای محاسبه به کار گرفته می‌شود. نام این رشته یادگار دورانی است که روم و یونان باستان با چیدن سنگ‌ریزه‌های آهکی (شن) بر زمین، مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.

در گذشته به این رشته «حساب جامعه و فاضله» گفته می‌شد و در سال‌های اخیر واژه «حسابان» به‌کار می‌رود که اشاره به دو شاخه اصلی این رشته دارد. این رشته در بیشتررشته‌های علمی و فنی کاربرد دارد.

حساب دیفرانسیل – differential calculus

در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه‌های حسابان است که به مطالعه‌ی نرخ تغییرات کمیت‌ها می‌پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.

هدف اصلی مطالعه‌ی حساب دیفرانسیل، محاسبه‌ی تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطه‌ی دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می‌کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق‌گیری نامیده می‌شود.

از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌ متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیه‌ی اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می‌شوند. این قضیه بیان می‌کند که مشتق‌گیری معکوس انتگرال‌گیری است.

مشتق‌گیری تقریباً در همه‌ی علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهنده‌ی سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است.

مشتق تکانه‌ی یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری معادله‌ی معروف\(f = ma\) را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند.

مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینه‌ی یک تابع نیز به کار می‌روند. معادلات دربرگیرنده‌ی مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می‌شوند و در توصیف پدیده‌های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسه‌ی دیفرانسیل، نظریه‌ی اندازه و جبر مجرد بهره برده می‌شود.

حساب انتگرال (انتگرال) – Integral calculus

اولين بار لايبنيتز نماد استانداردي براي انتگرال معرفي كرد.

انتگرال چيست؟ اگر مشتق را آموخته باشيد، مي توان گفت كه انتگرال گيري عكس عمل مشتق گيري است يعني؛ پيدا كردن تابعي كه (تابع اوليه) مشتق آن انتگرالده را بدهد. براي مثال اگر مشتق تابع \(\sin\) برابر\(\cos\) است، انتگرال تابع \(\cos\) برابر \(\sin\) است.

انتگرال نيز مانند مشتق داراي قواعد و حالت‌هاي خاص است كه بايستي آنها را فرا بگيريد. اگر بخواهيم هم‌زمان دو عمل مشتق گيري و انتگرال گيري را روي تابعي انجام دهيم، در واقع هيچ كاري انجام نداده ايم زيرا اين دو عمل يكديگر را خنثي مي‌كنند.

در انتگرال \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) ، \(a\) و \(b\) نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند به طوری‌که \(a\) و \(b\) را به ترتیب کران‌های بالا و پایین انتگرال می‌نامیم. و \(f\) تابعی انتگرال پذیر است و \(dx\) نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است. \(dx\) یک کمیت بی‌نهایت کوچک است.

انتگرال نامعین – \(\int {f\left( x \right)} dx\)

هرگاه مشتق(معادله دیفرانسیلی) تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را مشخص کنیم، این عمل را انتگرال‌ نامعین نامیده و آن را با نماد \( \int \) نمایش می‌دهند. بنا به تعریف نماد \(\int {f\left( x \right)} dx\) را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند \(F\left( x \right) + C\) در نظر می‌گیریم هر گاه داشته باشیم: \(\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C\) با شرط این‌که \({\left( {F\left( x \right) + C} \right)^\prime } = f\left( x \right)\).

انتگرال معین – \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\)

نماد \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای \(a < x < b\) عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) – F\left( a \right)\)

همان‌طور که گفته شد \(a\) و \(b\) به ترتیب کران‌های پایین و بالای انتگرال نامیده می‌شوند.

تابع انتگرال پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال، مساحت محصور زیر نمودار است. انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف حجم محصور زیر نمودار و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).

انتگرالگیری

انتگرال‌گیری (محاسبه انتگرال) به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روش‌ها و قوانین انتگرال‌گیری است (انتگرال معین) و انتگرال را می‌توان عمل عکس مشتق معرفی نمود (انتگرال نامعین).

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال، انتگرال ریمان (Riemann integral) و انتگرال لِبِگ (Lebesgue Integral) است. انتگرال ریمان به‌ وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد. تعریف دیگر را هانری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف، شرایط تعویض‌پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌شود. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس (Riemann–Stieltjes integral) اشاره کرد.

محاسبه انتگرال

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده‌است.

انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع \(f\) کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری دارد این تکنیک‌ها عبارت‌اند از:

1- انتگرال‌گیری به وسیله تغییرمتغیر

2- انتگرال‌گیری جزء به جزء

3- انتگرال‌گیری با تغییر متغیر مثلثاتی

4- انتگرا‌ل‌گیری به وسیله‌ی تجزیه‌ی کسرها

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرال‌های معین به کار می‌رود هم‌چنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها را با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال

امروزه حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو بسیار گسترده ای دارد و فیزیک‌دانان و ریاضی‌دانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلماً شگفت زده و شادمان می‌شدند اگر می‌دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل می‌کند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش‌بینی گرایش‌های کلی اقتصادی استفاده می‌کنند.

اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه‌هایی درباره جریان‌های دریایی بهره می‌گیرند، و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار می‌گیرند، دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشک‌ها به کار می‌برند. روانشناسان از آن برای درک توهمات بصری استفاده می‌کنند و…

به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

هفت کتاب برتر در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال

۱- حساب دیفرانسیل و انتگرال لیتهلد، لوئیس
۲- حساب دیفرانسیل و انتگرال پیسکانف، نیکلای سمنوویچ
۳- حساب دیفرانسیل و انتگرال اپوستل‌، تام‌ ام
۴- حساب دیفرانسیل و انتگرال گلدشتاین، لاری
۵- حساب دیفرانسیل و انتگرال توماس، جورج برینتون
۶- حساب دیفرانسیل و انتگرال سیلورمن، ریچاردا
۷- حساب دیفرانسیل و انتگرال دکتر سیاوش شهشهانی

مصاحبه با دکتر سیاوش شهشهانی

در ادامه مطلب ، متن مصاحبه با دکتر شهشهانی و پاسخ ایشان به دو سوال مرتبط با نحوه شروع نگارش کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال را برای شما کاربران و دوست داران دکتر شهشهانی قرار داده ایم.

سوال: چرا نوشتن کتاب را با حساب دیفرانسیل و انتگرال شروع کردید؟

پاسخ دکتر شهشانی : حساب دیفرانسیل و انتگرال عمومی‌ترین درس ریاضی است که در دانشگاه تدریس می‌شود. دانشجویان علوم پایه و مهندسی آن را در سال اول فرا می‌گیرند و دانشجویان رشته‌های دیگر هم اگر درس ریاضی الزامی داشته باشند معمولاً صورتی از همین مبحث است.

این امر دلیل موجهی هم دارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال زبان بیان پدیده‌های غیرخطی و ابزار حل این مسایل است. اما ریاضیات غیر خطی چیست؟

در ساده ترین حالت یک اتومبیل در حال حرکت را درنظر بگیرید اگر این اتومبیل با سرعت ثابتی حرکت کند و بخواهید بدانید مثلاً پس از ده دقیقه چه مسافتی را طی کرده‌است؟ سرعت اتومبیل را در مدت زمان ضرب می‌کنید. حالا اگر سرعت ثابت نباشد و سرعت متغیر اتومبیل را به صورت یک نمودار به شما داده باشند، چه می‌کنید؟ در اینجا باید از حساب انتگرال استفاده کنید. این یک نمونه است‌.

نمونه ساده دیگر اینکه، اگر جسمی دارای بدنه خمیده باشد چگونه حجم آن را محاسبه می‌کنید؟ علوم طبیعی، مسایل مهندسی، اقتصاد و هر جای دیگر که کمیت متصل مطرح می‌شود مملو از مسایل غیرخطی است و اغراق نیست که بگوئیم از قرن هفدهم میلادی رشد و پیشرفت بخش بزرگی از علم و تکنولوژی دست در دست توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال بوده‌است.

از اینروست که این بخش از ریاضیات جزء دانش ضروری بسیاری از رشته‌های دانشگاهی محسوب می‌شود و هر کتاب که در این زمینه نوشته شود، می‌تواند بالقوه مخاطبان زیادی داشته باشد.

اشاره داشتم به «کمیت متصل» و اینکه موضوع این رشته از ریاضیات بررسی تغییرات غیرخطی یا غیر یکنواخت این‌گونه کمیت‌هاست. در واقع دیرینه این مسائل در مورد ماهیت کمیت متصل به دوران باستان، یعنی خیلی پیش از قرن هفدهم، باز می‌گردد ولی روش اسلوبمند رویکرد به این مسایل از قرن هفدهم پا گرفت.

از دوران باستان تمایز میان کمیت‌های منفصل که با اعداد طبیعی شمارش می‌شوند و کمیت‌های متصل مانند گذر زمان یا طول پاره‌خط‌ها مورد توجه ریاضی‌دانان، علمای طبیعی و فلاسفه بوده است. تجلی کمیت‌های متصل معمولاً در هندسه مشاهده می‌شود و کمیت‌های منفصل در حساب.

اینکه انسان توانسته است یک تئوری منسجم و کار ساز از کمیت‌های متصل داشته باشد و بر مبنای آن ابزار موثری برای بررسی تغییرات غیر یکنواخت آنها ابداع کند به نظر من از بزرگترین موفقیت‌های تفکر بشر است.

تدریس و تشریح این جریان بزرگ و دیرینه دار فکری یکی از لذت بخش ترین فعالیت‌های بیش از سی سال فعالیت دانشگاهی من بوده است‌. در واقع آنچه مرا به سوی نوشتن این کتاب سوق داد سعی در مکتوب کردن این تجربه بسیار زیبا و معنی دار بود.

سوال : در تبدیل فرم شفاهی به فرم مکتوب چه چیزهایی به کتاب انتقال داده نشد؟

پاسخ دکتر شهشانی : من خیلی دیر فهمیدم که محیط کلاس و حتی تنظیم درسنامه مبتنی بر صحبت کلاس یک دنیای کاملاً متفاوت از محیط نوشتاری صرف تالیف یک کتاب است.

وقتی شما رویاروی چند صد جوان کنجکاو و تیز هوش صحبت می‌کنید محیط شفاهی امکاناتی به شما می‌دهد که در عرصه مخاطبان ناشناخته موجود نیست.

شاید اگر از روز اول می‌دانستم چه چالشی در مقابل خواهم داشت هرگز دست به کار نوشتن نمی‌شدم. خیلی مشکل می‌توان لطائف محیط شفاهی را به کاغذ منتقل کرد. ادبیات کتاب با محیط خودمانی کلاس فرق دارد.

اشاره‌ها، مکث‌ها، تکرارها و حتی حرکات بدنی همه مدرس را در انتقال مطلب در کلاس یاری می‌دهند ولی اینها جایی در کتاب ندارند. البته در مقابل ابزار بصری مانند تصویرهای با کیفیت تا حدی جبران مافات می‌کنند.

نکته دیگر اینکه کتاب باید از دقت و کمال بیشتری برخوردار باشد به گونه‌ای که حتی‌المقدور یک متن جامع، قابل ارجاع و خودکفا باشد. این الزامات و اینکه ضرورتاً مخاطبان کتاب اقشار وسیعتری از جماعت خاص در دانشگاه خاص را در بر می‌گیرد موجب می‌شود که متن کتاب رسمی‌تر، خنثی تر و بعضا بی‌روح تر باشد.

باید اذعان کنم که ناشر کتاب، یعنی انتشارات فاطمی، از آغاز دید دقیقتر و هدفمندتری نسبت به انتظاراتش داشت تا خود من. شاید انگیزه من که هر چند وقت یک بار این درس را تدریس می‌کنم و نزدیک به بازنشستگی هستم یک انگیزه روانی بود، یعنی کوشش درماندگار کردن و تداوم بخشیدن به تجربه‌ای که از آن لذت فراوان برده‌ام.

ولی انتشارات فاطمی برنامه مشخصی دارد. آنها به درستی دریافته‌اند که در محیط علمی ایران فقدان محسوسی از به اصطلاح « تکست بوک» تألیفی با استاندارد بین المللی مشهود است و در صددند که باب جدیدی در زمینه تألیف بگشایند.

ناشر خوب و موفق طبعاً کتابی می‌خواهد که هم ضوابط استانداردهای تالیف بودن را ارضا کند و هم بتواند پاسخگوی نیاز بازار باشد. یک درسنامه، هرچند که در آن بسیاری ظرافت‌های کلاس درس قابل رویت است ولی نیاز عمومی را پاسخگو نیست. ناشر حاضر در این راه ریسک بزرگی را پذیرفته است و همه گونه امکانات پشتیبانی را فراهم کرده است.

البته من به هیچ وجه نمی‌توانم ادعا کنم که از عهده کار برآمده‌ام ولی کوشش خود را کرده‌ام و این می‌تواند حداقل به نسل‌های بعد این جرأت را بدهد که در کنار نهضت ترجمه جا افتاده و موفقی که برای کتاب‌های علمی پدید آمده است در راه تالیف نیز گام بردارند.

اینرا هم اضافه کنم که قطعاً همکاران دیگری در دانشگاه‌های مختلف کوشش‌های تألیفی خوبی در همین زمینه انجام داده‌اند. من از این اقبال خوب برخوردار بوده‌ام که یک ناشر حرفه‌ای حاضر شده است چاپ نوشتاری مطابق سلیقه شخصی خودم را بپذیرد.

نکته مثبت کتاب دکتر شهشهانی اینست که شهود پشت مفاهیم و قضایای ریاضی رو درست و دقیق بیان می‌کنه ( بر عکس کتاب‌های رایج تر ریاضی عمومی ) . این باعث میشه این کتاب نه تنها حساب دیفرانسیل و انتگرال رو دقیق یاد بده بلکه دو جلد کتاب تا حد زیادی مفاهیم آنالیز 1،2،3 و جبر خطی رو پوشش بده. حتی آخر کتاب دوم ایده‌های اصلی حساب خمینه‌ها و توپولوژی دیفرانسیل هم مطرح میشه. با این حال همه این‌ها در متن دو جلد کتاب ریاضیات عمومی است.

به هر حال تأکید اصلی این کتاب بر مفاهیم است ( آن‌طور که ریاضی‌دان باید آن‌ها را درک کند ) در برابر کتاب‌هایی که تأکید بر تکنیک‌ها دارند. حتی روش‌های انتگرال‌گیری و … با این استدلال که بهتر این کارها به کامپیوترها سپرده شوند تا حدودی حذف شده‌اند. در مقابل مفاهیم ( چیزی که یک انسان باید آن‌ها را بفهمد نه کامپیوتر ) درست مثل کتاب‌های رودین بدون ابهام با بیان دقیق ریاضی مطرح شده‌اند.