فرمول‌های کاربردی در مشتق گیری
- انتشار:
در این مقاله، تمام فرمول های مشتق گیری (Derivative formulas) از توابع مختلف شامل مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی، رادیکالی، قدرمطلق و جزء صحیح، هذلولوی و معکوس هذلولوی و… در قالب یک جدول گردآوری شده است.
در بیشتر مسائل مهندسی، فیزیک و مهم تر در ریاضیات لازم است تا با فرمول های مشتق گیری آشنا باشید. در واقع در این مقاله، مشتق توابع معروف ارائه شده‌اند. برای نمونه بدیهی است که محاسبه مشتق توابع مثلثاتی و البته توابع معکوس مثلثاتی با استفاده از تعریف بسیار زمان گیر و دشوار است؛ از این رو بهتر این است که فرمول‌های این توابع را در ذهن داشته باشید.
در تلفن همراه، جدول را به سمت راست یا چپ بکشید.
| مشتق تابع | تابع | ردیف |
|---|---|---|
| \(\frac{d}{{dx}}\left( c \right) = 0\) | \(f\left( x \right) = c\) | ۱ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left[ {cf\left( x \right)} \right] = cf’\left( x \right)\) | \(y = \left[ {cf\left( x \right)} \right]\) | ۲ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = f’\left( x \right) + g’\left( x \right)\) | \(y = \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) | ۳ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = f’\left( x \right) – g’\left( x \right)\) | \(y = \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\) | ۴ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right) = \frac{{g\left( x \right)f’\left( x \right) – f\left( x \right)g’\left( x \right)}}{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}\) | \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) | ۵ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = f’\left( x \right).g\left( x \right) + g’\left( x \right).f\left( x \right)\) | \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) | ۶ |
| \(\frac{d}{{dx}}f\left[ {g\left( x \right)} \right] = f’\left[ {g\left( x \right)} \right]g’\left( x \right)\) | \(y = f\left[ {g\left( x \right)} \right]\) | ۷ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{u^n}} \right) = nu'{u^{n – 1}}\) | \(y = {u^n}\) | ۸ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{e^u}} \right) = u'{e^u}\) | \(y = {e^u}\) | ۹ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{a^u}} \right) = u'{a^u}\ln a\) | \(y = {a^u}\) | ۱۰ |
| \(\frac{d}{{dx}}\ln \left| u \right| = \frac{{u’}}{u}\) | \(y = \ln \left| u \right|\) | ۱۱ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) = \cos x\) | \(y = \sin x\) | ۱۲ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\cos x} \right) = – \sin x\) | \(y = \cos x\) | ۱۳ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) = {\sec ^2}x\) | \(y = \tan x\) | ۱۴۵ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) = – {\csc ^2}x\) | \(y = \cot x\) | ۱۵ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) = \sec x\tan x\) | \(y = \sec x\) | ۱۶ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\csc x} \right) = – \csc x\cot x\) | \(y = \csc x\) | ۱۷ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) | \(y = {\sin ^{ – 1}}x\) | ۱۸ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cos }^{ – 1}}x} \right) = – \frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) | \(y = {\cos ^{ – 1}}x\) | ۱۹ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\) | \(y = {\tan ^{ – 1}}x\) | ۲۱ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = \frac{{f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}\) | \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) | ۲۲ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt[m]{{{f^n}\left( x \right)}}} \right) = \frac{{nf’\left( x \right)}}{{m\sqrt[m]{{{f^{m – n}}\left( x \right)}}}}\) | \(y = \sqrt[m]{{{f^n}\left( x \right)}}\) | ۲۳ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = \frac{{f’\left( x \right).f\left( x \right)}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}\) | \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) | ۲۴ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ – 1}}x} \right) = – \frac{1}{{1 + {x^2}}}\) | \(y = {\cot ^{ – 1}}x\) | ۲۵ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sec }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} – 1} }}\) | \(y = {\sec ^{ – 1}}x\) | ۲۶ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\csc }^{ – 1}}x} \right) = – \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} – 1} }}\) | \(y = {\csc ^{ – 1}}x\) | ۲۷ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\sinh x} \right) = \cosh x\) | \(y = \sinh x\) | ۲۸ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\cosh x} \right) = \sinh x\) | \(y = \cosh x\) | ۲۹ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\tanh x} \right) = {{\mathop{\rm sech}\nolimits} ^2}x\) | \(y = \tanh x\) | ۳۰ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {\coth x} \right) = – {{\mathop{\rm csch}\nolimits} ^2}x\) | \(y = \coth x\) | ۳۱ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{\mathop{\rm sech}\nolimits} x} \right) = – {\mathop{\rm sech}\nolimits} x\tanh x\) | \(y = {\mathop{\rm sech}\nolimits} x\) | ۳۲ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{\mathop{\rm csch}\nolimits} x} \right) = – {\mathop{\rm csch}\nolimits} x\coth x\) | \(y = {\mathop{\rm csch}\nolimits} x\) | ۳۳ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sinh }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\) | \(y = {\sinh ^{ – 1}}x\) | ۳۴ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cosh }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}\) | \(y = {\cosh ^{ – 1}}x\) | ۳۵ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tanh }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 – {x^2}}},\left( {\left| x \right| < 1} \right)\) | \(y = {\tanh ^{ – 1}}x\) | ۳۶ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{\coth }^{ – 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 – {x^2}}},\left( {\left| x \right| > 1} \right)\) | \(y = {\coth ^{ – 1}}x\) | ۳۷ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{{\mathop{\rm sech}\nolimits} }^{ – 1}}x} \right) = – \frac{1}{{x\sqrt {1 – {x^2}} }}\) | \(y = {{\mathop{\rm sech}\nolimits} ^{ – 1}}x\) | ۳۸ |
| \(\frac{d}{{dx}}\left( {{{{\mathop{\rm csch}\nolimits} }^{ – 1}}x} \right) = – \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} + 1} }}\) | \(y = {{\mathop{\rm csch}\nolimits} ^{ – 1}}x\) | ۳۹ |
فرزامی
مدیر وبسایت فدیکا-کارشناس ارشد ریاضی-علاقه مند به آموزش و تدریس ریاضی
20 Comments
سلام. ممنونم اما ای کاش یک مثال می زدید من هنوز نمیدونم چجوری باید مشتق بگیرم
y=f(x)
f(1)=-1
x²+y²+xy+3x-2y-6=0
df/dx(1)= f ‘(1)=?
من الان نمیتونم اینو مشتق بگیرم. لطفا راهنمایی کنید
سلام بر شما کاربر محترم
سوالتون رو در واتساپ ارسال بفرمائید چون دقیق نیفتاده
در تاریخ ۱۴۰۰/۰۱/۱۹ ساعت ۸ شب بررسی کرده و پاسخ خواهم داد.
قطعا موفق میشوید.
سلام خانم فرزامی
هم کلاس هاتون بسیار مفید بود و من استفاده کردم
و هم اینکه بسیار مسلط به موضوع با فن بیان رسا و عالی مطالب رو بیان کردین.
مفهوم حد و تابع و پیوستگی و مشتق رو بسیار خوب فهمیدم و خیلی خوشحالم. انشالله برای انتگرال ها هم بزودی مزاحم میشم.
در ضمن، ممنونم با اینکه مشغله زیاد دارین اما پاسخگوی سوالات بعد از کلاسم نیز بودین.
سپاس و قدردانی میکنم از زحمات شما مدرس گرانقدر
سلام آقای حکمت
متشکرم از شما
از این بابت که مورد رضایتتون واقع شده خرسندم.
و از شما انتظار دارم مباحثی که آموختین رو تکرار و تمرین داشته باشید و یادگیری خودتون رو با حل سوالات گوناگون به چالش بکشید.
شما و سایر دانش آموزان و دانشجویان قطعا موفق خواهید شد اگر همت کنید.
Kheili khob bood khanom doktor, baraye mayie ke kharj az iran ham tashrif darim kheili behemon komank mikone. 🙂
ممنون
هر جای دنیا که حضور دارین موفق و پیروز باشید.
سلام،عالی ممنون بابت لطف شما استاد گرامی
منبع اصلی برای یادگیری ریاضی 1و 2 در مقطع کارشناسی چه کتابی هست یه رفرنس اساسی و اصولی؟
عالى لذت بردم، من مدرس دانشگاه هستم و در حال اتمام مقطع دكترى تخصصى مهندسى هوافضا ، خوشحال ميشم به كانال بنده در تلگرام سر بزنيد و نظرتون رو بدونم
ID: @majidghadirifard
درود بر شما
متشکرم
بسیار عالی، آرزوی موفقیت.
عااااالی بود استاد
سلام من تازه مطالب شمارو خوندم عالي بودن
من ليسانس رياضي محض دارم ميخوام ادامه بدم
ولي بعد از٧سال دوباره خوندن يكم سخته
ونميدونم از كجا شروع كنم
ممنون ميشم يه راهنمايي بفرماييد
سلام بر شما
متشکرم
شرط یادگیری تکرار پذیری است
و قطعا فاصله انداختن بین دوره های تحصیلی میتواند شروع به خواندن رو تا حدودی با مشکل روبرو کند.
بنابراین اگر قصد تحصیل همین رشته را در دوره های بالاتر دارید
باید دروس منابع رو فراهم و خواندن منابع رو بسیار بیشتر و متفاوت از افرادی که فاصله تحصیلی کوتاهتری دارند آغاز کنید.
در مورد شیوه مطالعه، در کنار برنامه ریزی شخصی میتوانید با شماره تماس موجود در قسمت ارتباط با ما تماس حاصل کنید.
سلام
بهتره فرمول ها به صورت فرم تعمیم یافته نوشته شوند که جامعیت و کاربرد بیشتری داره. (به جای x از جملات u استفاده بشه.)
سلام بر شما آقای حنیف
بله درسته. ممنون از توجه و دقت شما.
اعمال میکنم.
مشتق این چطور حساب میشه (sinx)^tanx
ممنون.
خداییش ایولا داری خانوم دکتر
دخترا باید بیان از امثال شما یاد بگیرند?
هر جای سایتتون میچرخم از خوندن مطالب لذت میبرم
کم کم دارم به ریاَضی علاقه مند میشم…
???
متشکرم
خداروشکر که مطالب سایت مورد قبول شما واقع شده است.
موفق باشید
ضمن خسته نباشید و قدردانی برای زحماتتون
لطفا فرمولات مشتق را کاملتر بیاورید. ممنون
متشکرم. بله حتما